Stellenwertsysteme

Wie interpretieren wir die Zahl $468$? In der Primarschule haben wir das folgendermassen gelernt:

$4$ Hunderter plus $6$ Zehner plus $8$ Einer gibt vierhundertachtundsechzig.

Wir können das auch als Tabelle darstellen:

Das ist unser Dezimalsystem. Jede Ziffer in einer Zahl des Dezimalsystems entspricht einem Stellenwert. Deshalb nennen wir so etwas auch ein Stellenwertsystem.

Der Stellenwert im Dezimalsystem ist dabei immer eine Potenz von $10$. Die Ziffer $8$ in der Zahl $468$ hat also den Stellenwert $8 \cdot 10^0 = 8 \cdot 1 = 8$, die Ziffer $6$ den Stellenwert $6 \cdot 10^1 = 6 \cdot 10 = 60$ und die Ziffer $4$ den Stellenwert $4 \cdot 10^2 = 4 \cdot 100 = 400$.

Der Ziffernvorrat des Dezimalsystem besteht dabei aus den Ziffern $0$ bis $9$. Das sind die Ziffern, die an einer Stelle in einer Zahl vorkommen können. Zehn Stück.

Deka kommt aus dem Griechischen und bedeutet zehn. Das Dezimalsystem ist also ein dekadisches Stellenwertsystem: es arbeitet mit zehn Ziffern, und seine Stellenwerte sind Potenzen von $10$ (wir sagen: es hat die Basis $10$).

Wieso keine elfte Ziffer?

Könnten wir dem Dezimalsystem nicht auch noch eine elfte Ziffer hinzufügen? Die Ziffern $0$ bis $9$ sind schliesslich einfach nur Zeichen, also könnten wir doch ein weiteres Zeichen als zusätzliche Ziffer verwenden: Zum Beispiel könnten wir sagen, dass $\Omega$ dem Wert "zehn" entsprechen soll, richtig?

Überlegen Sie, weshalb das nicht sinnvoll wäre. Halten Sie Ihre Gedanken hier fest.

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Basis und Ziffernvorrat

Bei einem Stellenwertsystem entspricht die Menge der Ziffern im Ziffernvorrat immer der Basis des Systems. So ist zum Beispiel im Dezimalsystem die Basis $10$ (d.h. wir arbeiten mit Potenzen von $10$) und es werden 10 Ziffern verwendet.

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